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证明与反击

    第二次数学分析课上，维兰德教授点评作业。他站在讲台前，手里拿着几份作业样本。

    “大部分同学完成了基础题目，但最后一题挑战题”他举起一份作业，“只有两位同学给出了完整解答。有趣的是，其中一份的解答极其简洁优美，用了柯西收敛准则的变形。”

    他翻到作业封面：“露娜·诺伊曼。”

    教室里响起窃窃私语。我感觉到目光聚集过来。

    “诺伊曼小姐的解答。”维兰德教授将我的作业投影到黑板上，“她将原问题转化为函数序列的一致收敛性证明，然后构造了一个巧妙的控制函数，用到了阿贝尔变换和狄利克雷判别法的思想。这在本科生中很少见。”

    他停顿，目光投向我：“能请你简要解释一下思路吗？”

    我站起来，走到黑板前。维兰德教授递给我粉笔。

    “原题是证明一个含参变量反常积分的连续性。”我边写边说，“常规做法需要分段估计，计算复杂。我注意到积分核可以看作一个函数序列的极限，于是考虑证明该函数序列在参数区间上一致收敛到极限函数。为此，我构造了辅助函数g(x)，利用阿贝尔变换将原积分转化为g(x)与另一个函数的乘积的积分，然后应用狄利克雷判别法的一致收敛版本。最后，一致收敛性保证了极限函数的连续性。”

    我写下关键不等式，标注每一步的逻辑依据。教室里很安静，只有粉笔敲击黑板的声音。

    “完毕。”我放下粉笔。

    维兰德教授审视着黑板上的推导，缓缓点头：“思路清晰，技巧运用得当。这确实是本科阶段不常见的解法。诺伊曼小姐，你之前学过实变函数？”

    “自学过一部分。”

    “自学。”维兰德重复这个词，语气复杂。

    我回到座位。下课后，几个男生围到讲台前询问问题。我收拾东西准备离开时，一个声音叫住了我。

    “诺伊曼小姐。”

    一个高个子男生走过来，他叫马丁·韦伯，他手里拿着自己的作业本。

    “我也解出了最后一题。”他将作业本翻开，展示他的解法。那是传统的分段估计法，写了整整三页，密密麻麻的不等式，“我看了你的解法，很巧妙。但我想知道，你真的自己想到的吗？还是参考了某些研究生级别的资料？”

    他的声音不大，但周围没离开的人听得清。他们停下了动作，看向我们。

    “我自己想的。”我说。

    马丁笑了笑“巧合的是，我叔叔是数学系的研究员，他上周正好和我讨论过类似的问题，用了阿贝尔变换的思路。而你是班上唯一一个解法如此，研究生风格，的人。这让我不得不怀疑，你是否......恰好接触过同样的资料？”

    暗示明确，我在作弊。

    教室里彻底安静了。维兰德教授已经离开，但助教还在整理讲义，他抬起头，看向我们。

    你的解法用了标准的分段估计，共用了十七个不等式，我的解法用了五个核心步骤，得到的界是O(1/n)。不仅更简洁，而且更精确。”

    马丁的脸微微发红：“那只能说明你参考的资料更高级，不能说明是你独立思考的。”

    “那么，让我们现场测试一下。”我走向黑板，擦掉之前的推导，“请你提出一个类似的，但是非标准的问题。我来现场解答。如果我能用类似风格的简洁方法解决，是否就能证明我具备相应的思维能力？”

    马丁愣住了。周围的学生们交换眼神，有人小声说：“这有点过分吧......”

    “或者，”我继续说，“我可以指出你解法中的一处冗余。”我指向他作业本的第三页，“这里，你用了柯西-施瓦茨不等式，得到了一个上界。但事实上，可以直接用积分第二中值定理得到更紧的界，从而省略后面三个